std.astro.orbit — Bahnmechanik

import std.astro.orbit;

Vis-Viva und alles, was daraus folgt: Geschwindigkeiten, Energie, Bahnelemente aus einem Zustand, Hohmann-Transfer, Fluchtbahnen und Ebenenänderungen. Alle Winkel in Radiant, alle Längen in Metern.

→ std.astro (Übersicht) · std.astro.state · std.astro.insertion

Die Werte stehen als Funktionen, nicht als Konstanten — so sind sie in Ausdrücken überall verwendbar.

Bei 7.7 km/s kostet ein Grad rund 135 m/s. Deshalb wird die Ebene im Apozentrum gedreht, wo das Tempo am kleinsten ist.

Die Unit rechnet sonst mit einem kugelsymmetrischen Zentralkörper. Dieser Abschnitt ist die einzige Ausnahme: er berücksichtigt die Abplattung über den Koeffizienten J2 — den Term, ohne den sich sonnensynchrone Bahnen, Molniya und Tundra nicht erklären lassen (#1988).

Drei Punkte, an denen die Formeln anders sind, als man sie im Kopf hat:

• In der Driftformel steht der Halbparameter p = a(1−e²), nicht die große Halbachse. Bei einer Kreisbahn ist das dasselbe, bei Molniya mit e = 0.74 unterscheidet es sich um mehr als das Doppelte.
• Sonnensynchron heißt tropisches Jahr (365.2422 Tage), also synchron mit der Sonne und nicht mit den Fixsternen. Die Bahn heißt nach dem, womit sie mitläuft.
• Eine sonnensynchrone Bahn ist zwangsläufig rückläufig. Die verlangte Drift ist positiv, also muss der Kosinus der Neigung negativ sein. Deshalb liegen alle SSO-Neigungen über 90°.

Ein Zahlenbeispiel steht auf der Seite Bahntypen: 700 km Bahnhöhe verlangen 98.188°, und die ISS-Bahnebene wandert 5.0023 Grad pro Tag nach Westen.

Auf demselben Term bauen drei weitere Funktionsgruppen auf:

• Wiederholbahnen (#1993) schließen sich, wenn die Nodalperiode, die Erddrehung und die Knotendrift zusammenpassen. ASmaFromRepeatCycle liefert für den Landsat-Zyklus 233/16 eine Bahnhöhe von 700.3 km.
• Bahnverfall (#1994) verbindet die Luftdichte mit dem ballistischen Koeffizienten aus std.astro.entry. Die Dichte ist ein Parameter, kein Modell — sie kommt vom Aufrufer.
• Frozen Orbits (#1996) brauchen J3 zusätzlich zu J2: J2 dreht das Perigäum, J3 zieht es zurück, und bei genau einer Exzentrizität heben sich beide auf. Für 800 km bei 98.6° sind das 0.0010274.

Zeitabhängige Rechnungen stehen bewusst nicht hier, sondern in std.astro.groundtrack: alles in dieser Unit ist zeitlos, eine Bahn hat eine Periode, aber keinen Zeitpunkt.

import std.astro.state;
import std.astro.orbit;
import std.io;

fn zeig(n: pchar, v: f64, d: int64): void { Print(n); PrintLn(FloatToStr(v, d)); }
fn BI(b: bool): int64 { if (b) { return 1; } return 0; }

fn main(): int64 {
    var mu:  f64 := AMuEarth();
    var leo: f64 := 6678000.0;      // 300 km Hoehe
    var geo: f64 := 42164000.0;

    zeig("g0 Oberflaeche     : ", ASurfaceGravity(mu, ARadiusEarth()), 4);
    zeig("v_kreis LEO        : ", ACircularSpeed(mu, leo), 2);
    zeig("v_flucht LEO       : ", AEscapeSpeed(mu, leo), 2);
    zeig("Energie LEO        : ", AEnergy(mu, leo, ACircularSpeed(mu, leo)), 1);
    zeig("Umlaufzeit min     : ", APeriod(mu, leo) / 60.0, 2);
    zeig("a aus T (siderisch): ", ASemiMajorFromPeriod(mu, 86164.0), 1);
    zeig("Hohmann dv1        : ", AHohmannDv1(mu, leo, geo), 1);
    zeig("Hohmann dv2        : ", AHohmannDv2(mu, leo, geo), 1);
    zeig("Hohmann dv gesamt  : ", AHohmannDv(mu, leo, geo), 1);
    zeig("Hohmann t Stunden  : ", AHohmannTime(mu, leo, geo) / 3600.0, 2);
    zeig("Ebenenaend. 1 Grad : ", APlaneChangeDv(7725.8, 0.017453292519943295), 1);
    zeig("v_inf bei 11 km/s  : ", AHyperbolicExcess(mu, leo, 11000.0), 1);

    Print("v_inf zu langsam   : ");
    PrintLn(IntToStr(BI(AIsError(AHyperbolicExcess(mu, leo, 7000.0)))));
    return 0;
}

g0 Oberflaeche     : 9.7983
v_kreis LEO        : 7725.84
v_flucht LEO       : 10925.99
Energie LEO        : -29844297.8
Umlaufzeit min     : 90.52
a aus T (siderisch): 42164138.8
Hohmann dv1        : 2425.8
Hohmann dv2        : 1466.8
Hohmann dv gesamt  : 3892.6
Hohmann t Stunden  : 5.28
Ebenenaend. 1 Grad : 134.8
v_inf bei 11 km/s  : 1273.9
v_inf zu langsam   : 1

Die letzte Zeile ist der wichtigste Teil des Beispiels: 7 km/s reichen in 300 km Höhe nicht zur Flucht, und die Funktion sagt das mit NaN — statt 0 zurückzugeben, was wie eine gerade noch erreichte Flucht aussähe.

Aus einem einzigen Zustand im Perigäum lässt sich die ganze Bahn ablesen — hier eine Molniya-artige Bahn (Perigäum 600 km, Apogäum 39 900 km, 63.4 Grad Neigung):

import std.astro.state;
import std.astro.orbit;
import std.math;
import std.io;

fn zeig(n: pchar, v: f64, d: int64): void { Print(n); PrintLn(FloatToStr(v, d)); }

fn main(): int64 {
    var mu:  f64 := AMuEarth();
    var rad: f64 := Pi() / 180.0;

    var rp: f64 := ARadiusEarth() +   600000.0;
    var ra: f64 := ARadiusEarth() + 39900000.0;
    var a:  f64 := (rp + ra) / 2.0;
    var vp: f64 := AVisViva(mu, rp, a);        // Tempo im Perigaeum
    var inc: f64 := 63.4 * rad;

    // Im Perigaeum steht die Geschwindigkeit senkrecht auf dem Ort
    var s: AState := AMakeState(rp, 0.0, 0.0,  0.0, vp * CosF64(inc), vp * SinF64(inc));

    zeig("Tempo Perigaeum    : ", ASpeed(s), 1);
    zeig("Halbachse km       : ", ASemiMajorAxis(mu, ARadius(s), ASpeed(s)) / 1000.0, 1);
    zeig("Exzentrizitaet     : ", AEccentricity(mu, s), 5);
    zeig("Inklination Grad   : ", AInclination(s) / rad, 2);
    zeig("Umlaufzeit h       : ", APeriod(mu, a) / 3600.0, 3);
    zeig("Perigaeum km       : ", APeriapsis(a, AEccentricity(mu, s)) / 1000.0, 1);
    zeig("Apogaeum km        : ", AApoapsis(a, AEccentricity(mu, s)) / 1000.0, 1);
    zeig("wahre Anomalie Grad: ", ATrueAnomaly(mu, s) / rad, 2);
    zeig("Tempo Apogaeum     : ", AVisViva(mu, ra, a), 1);
    return 0;
}

Tempo Perigaeum    : 9963.6
Halbachse km       : 26628.1
Exzentrizitaet     : 0.73794
Inklination Grad   : 63.40
Umlaufzeit h       : 12.012
Perigaeum km       : 6978.1
Apogaeum km        : 46278.1
wahre Anomalie Grad: 0.00
Tempo Apogaeum     : 1502.4

Zwei Proben, die zeigen, dass die Rechnung geschlossen ist: die zurückgerechneten Peri- und Apozentrumsabstände treffen die Eingabe wieder (6978 km = 6378 + 600, 46278 km = 6378 + 39900), und die wahre Anomalie ist 0 — der Zustand steht ja im Perigäum.

Die Umlaufzeit von 12.012 h ist der Grund für diese Bahnfamilie: zwei Umläufe je Sterntag, mit langem Verweilen über der Nordhalbkugel. Das Tempo unterscheidet sich dabei um den Faktor 6.6 zwischen Perigäum (9964 m/s) und Apogäum (1502 m/s) — deshalb sind Manöver im Apogäum billig.

Letzte Aktualisierung: 2026-08-31 — Parametertabelle mit den drei häufigen Verwechslungen (Höhe/Radius, Grad/Radiant, Sonnentag/Sterntag) und ein zweites Beispiel zu den Bahnelementen ergänzt; beide Beispiele mit lyxc 1.1.15B gebaut und ausgeführt.

Zuvor 2026-08-31 — Seite neu angelegt aus std/astro/orbit.lyx (PR #1890).